Wachstum
Hier kannst du ...
- exponentielles und lineares Wachstum unterscheiden (A 1 - A 3),
- exponentielles Wachstum berechnen (A 4 - A 12),
- exponentiellen Zerfall berechnen (A 13 - A 21),
- Anfangswerte ermitteln (A 22 - A 25),
- Wachstumsfaktor und Wachstumsrate ermitteln (A 26 - A 30),
- gemischte Aufgaben durchführen (A 31 - A 36)
- und Zeitabschnitte (n) berechnen (A 37 - A 41).
Exponentielles und lineares Wachstum unterscheiden
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn ein Wert je Zeiteinheit mit einem gleichbleibenden Faktor multipliziert wird.
Der Graph eines exponentiellen Wachstums ist eine Kurve.Lineares Wachstum liegt vor, wenn ein Wert je Zeiteinheit mit einem gleichbleibenden Summanden addiert wird.
Der Graph eines linearen Wachstums ist eine Gerade.
Aufgabe 1: Verändere die anklickbaren Werte. Beobachte die Angleichung in Tabelle und Grafik.
| Wachstumsart: | |||||||||||
| Anfangswert: | Graph |
||||||||||
| Wachstumsfaktor: | |||||||||||
| + 1 | + 2 | + 3 | + 4 | ||||||||
| Zeitabschnitt | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||
| Größe (gerundet) | |||||||||||
Aufgabe 2: Ordne zu, ob es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt.
Aufgabe 3: Ordne zu, welches Wachstum vorliegt.
Exponentielles Wachstum
Von exponentiellem Wachstum spricht man, wenn eine Anfangsgröße (W0) in gleichen Zeitabschnitten mit einem gleichbleibenden Wachstumsfaktor q vervielfacht wird, der größer als 1 ist. Das Endergebnis ist größer als der Anfangswert.
| Zeitabschnitte | |||||||||
|
|
|
|
||||||
| W0 |
· | q |
· | q |
· | q |
= | W0 · q3 = W3 | |
| Beispiel | 10 |
· | 1,2 |
· | 1,2 |
· | 1,2 |
= | 10 · 1,23 = 17,28 |
| Anf. | Wachstumsfaktoren |
||||||||
Im oberen Beispiel wurde der Anfangswert 10 nach drei Zeitabschnitten drei Mal mit dem Wachstumsfaktor 1,2 multipliziert: 10 · 1,23. Mit jedem weiteren Zeitabschnitt erhöht sich der Exponent (die Hochzahl) um eins. Nach vier Zeitabschnitten lautet das Ergebnis 10 · 1,24, nach fünf Zeitabschnitten 10 · 1,25 usw. Allgemein lässt sich so aus einem Anfangswert W0 und dem Wachstumsfaktor q das Ergebnis nach n Zeitabschnitten berechnen. Die Formel lautet:
Wn = W0 · qn
Im Wachstumsfaktor enthalten ist die Wachstumsrate p. Sie gibt den Prozentsatz des Wachstums an. Ein Wachtumsfaktor von 1,2 erhöht den zugrundeliegenden Wert beispielsweise jeweils um die Wachtumsrate von 0,2 oder 20 %. Der Wachtumsfaktor ist somit eins plus Prozentsatz des Wachstums:
| Beispiel: p = 20 %; q = 1 + | 20 | = 1 + 0,2 = 1,2 | 100 |
| Wachstumsfaktor: q = 1 + | p | 100 |
Aufgabe 4: Trage den fehlenden Zähler in die Formel ein und ermittle den Wachstumsfaktor.
| Wachstums- rate |
Formel | Wachstums- faktor |
||||||
| p = % | q = 1 + | = | ||||||
| 100 | ||||||||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 5: Trage den zugehörigen Wachsumsfaktor q ein. Beispiel: p = 50 %; q = 1,5.
| a) | p | = % | b) | p | = % |
| q | = | q | = | ||
| c) | p | = % | d) | p | = % |
| q | = | q | = | ||
richtig: 0falsch: 0
Die Formel (q = 1 + p 100 ) lässt sich so umstellen, dass man die Wachstumsrate berechnen kann.
Positive Wachstumrrate: p = (q - 1) · 100
Aufgabe 6: Trage den Wachtsumsfaktor in die Formel ein und ermittle die Wachstumsrate.
| Wachstums- faktor |
Formel | Wachstums- rate |
|||||
| q = | ( - 1) · 100 | = | % | ||||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 7: Trage die zugehörige Wachsumsrate p ein. Beispiel: q = 1,5; p = 50 %.
| a) | q | = | b) | q | = |
| p | = % | p | = % | ||
| c) | q | = | d) | q | = |
| p | = % | p | = % | ||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 8: Die Ausbildungsvergütung in einem Betrieb steigt jährlich um 2,5 %. Trage die fehlenden Werte ein.
| Gehaltssteigerung: 2,5% q = 1,025 |
||||
| 1. Jahr W0 | 560 € | 640 € | 720 € | 800 € |
| 2. Jahr W1 | € | € | € | € |
| 3. Jahr W2 | € | € | € | € |
Versuche: 0
Aufgabe 9: Trage jeweils den Wert Wn nach n Zeitabschnitten ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- faktor q | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | ||||
| b) | ||||
| c) |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 10: Trage jeweils den Wert Wn nach n Zeitabschnitten ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- rate p | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | % | |||
| b) | % | |||
| c) | % |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 11: Fischer setzen in einem Teich 15 Forellen aus. Sie hoffen, dass sich ihr Bestand jährlich verdoppelt. Wie viele Fische müssten sich dann nach 5 Jahren im Teich befinden?
Im Teich müssten Forellen schwimmen.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 12: Frau Lehmann legt zur Geburt ihrer Tochter bei der Bank an, die mit verzinst werden. Wie viel Geld könnte die Tochter zu ihrem 18. Geburtstag abheben, wenn sich der Zinssatz nicht verändert? Runde auf Cent.
Die Tochter könnte € abheben.
richtig: 0falsch: 0
Exponentieller Zerfall
Von exponentiellem Zerfall spricht man, wenn eine Anfangsgröße (W0) in gleichen Zeitabschnitten mit einem gleichbleibenden Wachstumsfaktor q vervielfacht wird, der kleiner als 1 ist. Das Endergebnis ist kleiner als der Anfangswert.
| Zeitabschnitte | |||||||||
|
|
|
|
|
||||||
| W0 |
· | q |
· | q |
· | q |
= | W0 · q3 = W3 | |
| Beispiel | 10 |
· | 0,8 |
· | 0,8 |
· | 0,8 |
= | 10 · 0,83 = 5,12 |
| Anf. | Wachstumsfaktoren |
||||||||
Die Wachstumsrate p ist in diesem Fall negativ. Ein Wachtumsfaktor von 0,8 verändert den zugrundeliegenden Wert beispielsweise jeweils um die Wachtumsrate von -0,2 oder -20 %. Der Wachtumsfaktor ist somit eins minus Prozentsatz des Wachstums:
| Beispiel: p = -20 %; q = 1 - | 20 | = 1 - 0,2 = 0,8 | 100 |
| Wachstumsfaktor: q = 1 - | p | 100 |
Aufgabe 13: Trage den fehlenden Zähler in die Formel ein und ermittle den Wachstumsfaktor.
| Wachstums- rate |
Formel | Wachstums- faktor |
||||||
| p = - % | q = 1 - | = | ||||||
| 100 | ||||||||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 14: Trage den zugehörigen Wachsumsfaktor q ein. Beispiel: p = -20 %; q = 0,8.
| a) | p | = - % | b) | p | = - % |
| q | = | q | = | ||
| c) | p | = - % | d) | p | = - % |
| q | = | q | = | ||
richtig: 0falsch: 0
Die Formel (q = 1 - p 100 ) lässt sich so umstellen, dass man die negative Wachstumsrate berechnen kann.
Negative Wachstumrrate: - p = (q - 1) · 100
Aufgabe 15: Trage den Wachtsumsfaktor in die Formel ein und ermittle die Wachstumsrate.
| Wachstums- faktor |
Formel | Wachstums- rate |
|||||
| q = | ( - 1) · 100 | = | - % | ||||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 16: Trage die zugehörige Wachsumsrate p ein. Beispiel: q = 0,9; p = -10%.
| a) | q | = | b) | q | = |
| p | = - % | p | = - % | ||
| c) | q | = | d) | q | = |
| p | = - % | p | = - % | ||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 17: Trage jeweils den Wert Wn nach n Zeitabschnitten ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- faktor q | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | ||||
| b) | ||||
| c) |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 18: Trage jeweils den Wert Wn nach n Zeitabschnitten ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- rate p | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | % | |||
| b) | % | |||
| c) | % |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 19: Für 1000 Euro können wir in 10 Jahren weniger kaufen als heute. Unser Geld verliert an Wert (Inflation), es hat später eine geringere Kaufkraft. Trage unten ein, welche Kaufkraft die angegebenen Werte in 5, 10 und 50 Jahren bei einer gleichbleibenden Inflation von 2 % noch hätten, wenn die Beträge nicht auf der Bank verzinnst werden würden. Runde auf Cent.
| Kaufkraft heute |
W0 | 1000 € | 5000 € | 25 000 € |
| Kaufkraft in 5 Jahren |
W5 | € | € | € |
| Kaufkraft in 10 Jahren |
W10 | € | € | € |
| Kaufkraft in 50 Jahren |
W50 | € | € | € |
Versuche: 0
Aufgabe 20: Bei der Farbproduktion entstehen an einer Maschine 900 mg einer giftigen Substanz. Bevor sie ins Abwasser gelangt, durchquert sie 4 mal eine Filteranlage. Bei jedem Durchlauf wird die Giftmenge dort um 80 % reduziert. Wie viel Gift wird anschließend noch ins Abwasser geführt?
Ins Abwasser kommen mg Gift.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 21: Claudia besitzt einen Würfel mit Kantenlänge aus farbigem Glas. Das durchstrahlenden Licht verliert darin pro Zentimeter seiner Intensität. Auf wie viel Prozent seines anfänglichen Wertes (100 %) hat sich die Intensität des Lichtes nach gradem Durchqueren des Würfels abgeschwächt? Runde auf ganze Prozent.
Antwort: Nach dem Durchqueren hat das Licht noch eine Intensität von % seines anfänglichen Wertes.
richtig: 0falsch: 0
Anfangswert ermitteln
Um den Anfangswert W0 zu ermitteln, kann die Wachstumsformel Wn = W0 · qn umgestellt werden: W0 = Wn qn
Aufgabe 22: Berechne jeweils den Anfangswert W0. Runde auf Tausender.
| Anfangswert W0 | Wachstums- faktor q | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | ||||
| b) | ||||
| c) | ||||
| d) |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 23: Berechne jeweils den Anfangswert W0. Zuerst musst du dafür den Wachstumsfaktor q ermitteln. Achte darauf, dass die Wachstumsraten bei Aufgabe c und d negativ sind. Runde auf Tausender.
| Anfangswert W0 | Wachstums- rate p | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | % | |||
| b) | % | |||
| c) | - % | |||
| d) | - % |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 24: Die Bevölkerung von Inheim ist in den letzten Jahren jährlich um 3 % gestiegen und liegt jetzt bei . Wie viele Menschen lebten vor Jahren in Inheim? Runde auf ganze Menschen.
Vor Jahren lebten in Inheim Menschen.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 25: Der Holzbestand eines Waldes hat in den letzten 5 Jahren jährlich um 3,5 % abgenommen und liegt jetzt bei 62 000 m³. Wie hoch war er vor >5 Jahren? Runde auf Tausender.
Vor 5 Jahren bestand der Wald aus rund 000 m³ Holz.
richtig: 0falsch: 0
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate ermitteln
Um die Wachstumsrate p zu ermitteln, benötigst du den Wachstumsfaktor q, dafür kannst du die Wachstumsformel Wn = W0 · qn umstellen:
Aufgabe 26: Berechne jeweils den Wachstumsfaktor q. Runde auf drei Stellen nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- faktor q | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | ||||
| b) | ||||
| c) | ||||
| d) |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 27: Berechne jeweils die Wachstumsrate p. Zuerst musst du dafür den Wachstumsfaktor q ermitteln. Achte darauf, dass die Wachstumsraten bei Aufgabe c und d negativ sind. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
| Anfangswert W0 | Wachstums- rate p | Zeitab- schnitte n | Endwert Wn |
|
| a) | % | |||
| b) | % | |||
| c) | - % | |||
| d) | - % |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 28: Eine Tierpopulation hat sich in 5 Jahren von 850 auf 1 000 Tiere vergrößert. Um wie viel Prozent hat die Population jährlich zugenommen, wenn das Wachstum exponentiell war? Runde auf eine Nachkommastelle.
Die Anzahl der Tiere ist jährlich um % gestiegen.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 29: Der Wirkstoff eines Medikamentes wird im Körper exponentiell abgebaut. Von den eingenommenen 0,8 g Wirkstoff sind nach 10 Stunden noch 0,04 g im Körper vorhanden. Um wie viel Prozent nimmt die Wirkstoffmenge stündlich ab? Runde auf eine Nachkommastelle.
Jede Stunde verringert sich die Wirkstoffmenge im Körper um %.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 30: In einem Wasserkocher kühlt dass auf 100 °C erhitzte Wasser innerhalb von 10 Minuten auf 80 °C ab. Um wie viel Prozent senkt sich die Wassertemperatur bei exponentiellem Zerfall in jeder Minute? Runde auf eine Nachkommastelle.
Jede Minute senkt sich die Temperatur um %.
Versuche: 0
Aufgabe 31: Trage die fehlenden Werte ein. Runde in den beiden linken Spalten auf Einer und in den beiden rechten auf zwei Nachkommastellen.
| Runde auf Einer. |
Runde auf Hundertstel. |
|||
| W0 | p | q | Wn | |
| a) | % | |||
| b) | % | |||
| c) | % | |||
| d) | % | |||
| e) | % | |||
| f) | % | |||
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 32: Ein Guthaben von € wird Jahre lang mit % verzinst. Berechne das Kapital am Ende des Jahres. Trage den ganzzahligen Wert des Endguthabens ein.
Das Kapital am Ende des Jahres beträgt €.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 33: Der Umsatz eines Betriebes konnte sich innerhalb der letzten 3 bei einem Wachstum von 4,5 % auf 1500000 € steigern.
| a) | Wie hoch war der Umsatz vor ? |
| b) | Wie hoch war der Umsatz vor , wenn die Steigerung der ersten 3 betrug? |
| Trage bei a den ganzzahligen Wert ein und runde b auf ganze Euro. | |
| a) | Der Umsatz vor betrug , €. (ganzzahliger Wert) |
| b) | Der Umsatz vor 8 betrug ,00 €. (auf Ganze runden) |
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 34: Der Kaninchenbestand in Kuniklojand ist in den letzten von auf gesunken. Bestimme die Wachstumsrate. Runde auf eine Nachkommastelle.
Die Wachtumsrate beträgt %.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 35: Ein Geldanleger hatte 5 lang zu einem Zinssatz von angelegt. Die Inflationsrate betrug in dieser Zeit jedoch pro Jahr. Wie viel Geld hat er verloren? Runde auf Cent.
Der Verlust betrug €.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 36: Ein Geldbetrag wird auf 10 Jahre angelegt und erreicht einen Endwert von . Nach 8 Jahren beträgt der Zwischenwert . Wie hoch war das Anfangskapital? Ergänze die fehlenden Ziffern der Lösung.
Das Anfangskapital lag bei 000 €.
richtig: 0falsch: 0
Zeitabschnitte (n) berechnen
Um n berechnen zu können, musst du mit Logarithmen arbeiten. Die Formel lautet:
Aufgabe 37: Herr Pecunia legt zu einem Zinssatz von an. Nach welcher Zeit verbucht er (Zinsen und Zinseszinsen eingerechnet) auf seinem Konto? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
= lg (qn)Herr Pecunia verbucht nach Jahren auf seinem Konto.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 38: Bei vertraglich festgelegten Zinssatz von 1,5 % wächst ein Kapital von anfänglich 100000 € auf 120000 € an. Wie lange war dieses Kapital angelegt? Runde auf ganze Jahre.
Der Vertrag hatte eine Laufzeit von Jahren.
richtig: 0falsch: 0
|
Aufgabe 39: In einer Thermoskanne sinkt die Wassertemperatur je Stunde um . Wieviel Zeit vergeht, bis ein heißer Tee auf abgekühlt ist? Runde auf eine Nachkommastelle. Nach Stunden hat der Tee die entsprechende Temperatur erreicht.
|
 |
Aufgabe 40: Jod-135 hat eine Halbwertzeit von 8 Tagen. In einer zweiten Messung wurden von ursprünglich noch nachgewiesen. Vor wie vielen Tagen fand die erste Messung statt?
Die erste Messung fand vor Tagen statt.
richtig: 0falsch: 0
Aufgabe 41: Trage die zur Rechnung gehörenden Werte in den Text ein. Runde den neuen Preis auf Hunderter.
| Rechnung: n = | log 1,5 | n ≈ 8 Jahre |
| log 1,052 |
Eine anfänglich für 40 000 € erworbene Skulptur, wuchs in ihrem Wert jährlich um %. Der ursprüngliche Besitzer verkaufte sie für €. Wie lange gehörte sie ihm?
Versuche: 0