Rechnen mit Potenzen

Potenzregeln

Für das Rechnen mit Potenzen gelten folgende Regeln. Sie werden beim Vereinfachen von Rechnungen angewendet.

Vorrangregeln

Klammerrechnung zuerst
Potenz- vor Punktrechnung
Punkt- vor Strichrechung

Grundlegendes

Eine Potenz mit dem Exponenten 0 hat den Wert 1. Eine Potenz mit dem Exponenten 1 hat den Wert der Potenzbasis.

a⁰ = 1; a¹ = a

5⁰ = 1; 5¹ = 5

Basis und Exponent gleich

Addition und Subtraktion: Zur Basis gehörende Faktoren werden addiert oder subtrahiert.

aⁿ + aⁿ = 2aⁿ
3aⁿ + 2aⁿ = 5aⁿ
5aⁿ - 3aⁿ = 2aⁿ

3² + 3² = 2 · 3²
3a² + 2a² = 5a²
5a² - 3a² = 2a²
a² + 5x⁴ + a² - 3x⁴ = 2a² + 2x⁴

Basis gleich

Multiplikation: Die Exponenten werden addiert.

a^m · aⁿ = a^{m + n}

4² · 4³ = (4 · 4) · (4 · 4 · 4) = 4^{(2 + 3)} = 4⁵

Division: Die Exponenten werden subtrahiert (gilt für m > n).

a^m : aⁿ = a^{m - n}

4⁵ : 4³ =	4 · 4 · 4 · 4 · 4	= 4^{(5 - 3)} = 4²
	4 · 4 · 4

Exponent gleich

Multiplikation und Division: Die zugehörigen Basen werden multipliziert oder dividiert.

aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ
aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

2² · 3² = (2 · 2) · (3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)²
6² : 3² = (6 · 6) : (3 · 3) = 6 · 6 : 3 : 3 = (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)²

Potenz der Potenz

Potenz: Die Exponenten werden multipliziert. Die Basis bleibt unverändert.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

(4²)³ = (4 · 4) · (4 · 4) · (4 · 4) = 4^{(2 · 3)} = 4⁶

Basis und Exponent gleich
Addition - Subtraktion

Aufgabe 1: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 3 · 4² + 3 · 4² = · =	b) 2³ + 6 · 2³ = · =
c) 6 · 3⁴ - 2 · 3⁴ = · =	d) 3 · 3² - 3² = · =
e) 12 · 2² + · 2² = · 2² = 68	f) 9 · 2³ - · 2³ = · 2³ = 32

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 2: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 4 · c³ + 3 · c³ = ·	b) d² + 6 · d² = ·
c) 5 · a³ - 3 · a³ = ·	d) 4 · b⁴ - b⁴ = ·
e) 5 · p² + · p² = 14 · p²	f) 10 · q³ - · q³ = 5 · q³

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 3: Trage die fehlenden Werte ein.

a) x² + x² = ·	b) a⁵ + 4 · a⁵ = ·
c) 6 · m³ - 2 · m³ = ·	d) 4 · y⁶ - 3 · y⁶ =
e) 5 · z³ + · = 12 · z³	f) -3 · b² + · = 5 · b²

Versuche: 0

Aufgabe 4: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 6 · p⁴ + 2 · p⁴ = ·	b) 6 · pq⁴ + 2 · pq⁴ = ·
c) 9 · x⁷ - 3 · x⁷ = ·	d) 9 · xy⁷ - 3 · xy⁷ = ·
e) 12 · ab⁵ + · = 14 · ab⁵	f) · - 3 · ab² = 5 · ab²

Versuche: 0

Aufgabe 5: Trage die fehlenden Werte ein.

9x⁵ + 6f⁸ + 4f⁸ + 3x⁵ = x⁵ + f⁸

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 6: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 4x² - 2x³ - 5x³ + 3x² + 9x³= x + x³

b) 9a⁷ + a⁴ - 6a⁴ - 5a⁷ + 2a⁴= a - a⁴

c) 12y³ + 7y⁵ - 9y⁴ + 3y⁴ + 5y³= y³ + y - y⁴

d) 9b² + b⁴ - 3b⁴ + 7b³ + b² = 13b² + 2b⁴ + b³

Versuche: 0

Aufgabe 7: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 5(a² + b³) - 2a² + 4b³ = a + b

b) (x⁵ - y⁷)8 - 2(x⁵ - y⁷) = x - y

c) 2u³ + 9(v³ - u³) + 5(u³ - v³)= u + v

Versuche: 0

Basis gleich
Multiplikation - Division

Aufgabe 8: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 4² · 4³ =	b) 5 · 5⁶ · 5¹⁰ =	c) 3⁵ : 3² =
d) 6² · = 6⁶	e) 2¹⁰ : = 2³	f) : 7⁴ = 7⁴

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 9: Trage die fehlenden Werte ein (siehe negative Exponenten).

a) 9⁵ · 9^-2 =	b) 6 · 6^-6 · 6⁷ =	c) 5⁷ : 5^-2 =
d) 8³ · = 8^-6	e) 7^-5 : = 7^-12	f) : 3⁷ = 3^-9

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 10: Trage die fehlenden Werte ein.

a) x³ · x² =	b) b · b² · b¹¹ =	c) a¹⁰ : a⁴ =
d) v⁸ · = v¹⁰	e) w¹⁰ : = w⁸	f) : y³ = y⁵

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 11: Fasse die Terme zusammen.

a) 8⁶ · 8⁹ · 8³ =

b) 6⁷ : 6² · 6⁵ =

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 12: Fasse die Terme zusammen.

a) x² · x² · x² =	b) a¹ · a² · a³ =	c) b^m · bⁿ =
d) y⁵ : y³ =	e) x^m : xⁿ =	f) (-a)^2m : (-a)^m = ()

Versuche: 0

Aufgabe 13: Trage die fehlenden Exponenten ein.

a) 2⁵ · 2 = 2⁹	b) 7 · 7³ = 7⁵	c) 4³ · 4 = 4⁶
d) x⁵ · x = x⁷	e) y · y⁴ = y⁸	f) a³ · a = a¹¹

Versuche: 0

Exponent gleich
Multiplikation - Division

Aufgabe 14: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 4⁴ · 7⁴ = ⁴	b) 5^-7 · 5^-7 =	c) 9⁵ · = 45⁵
d) ² · 4 = 32²	e) b³ · ³ = (bc)³	f) x⁶ · y⁶ = (x)

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 15: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 42⁴ : 7⁴ = ⁴	b) 64⁶ : 8⁶ =	c) 40^-3 : = 5^-3
d) ² : 2 = 4²	e) (bc)⁷ : ⁷ = b⁷	f) (u) : u⁵ = v⁵

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 16: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 6² : 3² = ²	b) 16⁷ : 2⁷ =	c) 12⁵ : = 4⁵
d) 18⁶ : 4,5⁶ = ⁶	e) 10³ : = 4³	f) ab⁴ : b⁴ =

Versuche: 0

Aufgabe 17: Ergänze die vereinfachten Terme richtig.

a) 7⁷ · 8⁷ · 6⁷ =

b) 6⁶ · 12⁶ : 4⁶ =

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Potenz der Potenz

Aufgabe 18: Trage die richtigen Werte ein.

a) (7⁵)⁴ = 7

b) (2⁴) = 2⁸

c) (5^-4)^³ = 5

d) (3³) = 3^-6

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 19: Vereinfache die Terme und trage die Lösung ein.

a) (4³)² = 4 =	b) (2⁴)³ = 2 =
c) (7²)² = 7 =	d) (10²)⁴ = 10 =
e) (5²)^-2 = 5 =	f) (0,1^-3)² = 0,1 =
g) (2² · 3³ )² = 2 · =	h) (2² · 4²)³ = =

Versuche: 0

Gemischte Aufgaben

Aufgabe 20: Klick an, ob der rote Term zusammengefasst 3x³, 3x⁴, oder 3x⁵ ergibt. Sechzehn Terme sind zuzuordnen.

x³ · 3x

richtig: 0 | falsch: 0

Aufgabe 21: Trage die fehlenden Exponenten in die Multiplikationsmauer ein.

			a · b
		a · b		a · b
	a · b		a · b		a · b
a · b		a²		b²		a · b

Versuche: 0

Aufgabe 22: Ergänze die vereinfachten Terme richtig.

a) 21⁷ : 3⁷ · 6⁷ =

b) 3^-4 : 3^-2 · 3⁶ =

c) 7k⁷ - 6e³ - 4k⁷ - 3e³ = k⁷ - e³

d) 8⁹ · 8⁸ · 8⁷ =

e) 3⁵ · 3⁶ : 3³ =

f) (9²)^⁴ =

g) 9⁹ · 9^-6 · 9² =

h) 6⁸ · 5⁸ · 7⁸ =

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 23: Ergänze die fehlenden Terme richtig.

a) 7t⁹ + h⁵ + t⁹ - 4h⁵ = 9t⁹ + 5h⁵

b) 3⁶ · · 3⁵ = 3¹³

c) · 40³ : 5³ = 56³

d) ()⁵ = 4²⁵

e) 5⁵ · · 6⁵ = 90⁵

f) 2^-8 · · 2⁴ = 2²

g) 7^-9 · 7³ : = 7^-9

h) 6⁴ : · 6⁸ = 6⁹

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 24: Trage die fehlenden Werte ein.

a) p^m · p⁰ · pⁿ = p

b) y^{x + 2} · y · y^{x - 2} · y^x = y

c) a^m · bⁿ · a · b²ⁿ = a · b

d) (t⁷ · t²) : (t · t³)= t

e) 4^-3 : 4^-5 = 4

Versuche: 0

Aufgabe 25: Trage die fehlenden Werte ein. Rechne ohne Taschenrechner.

2³ · 3³ · 4³ · 24^-2 =

(7⁶)^² - (7³)^⁴ =

(10²)^{² –}	5³ · 4³	= 10⁴ –	20³	= 10⁴ – 10³ = 10 000 – 1000	=
	2³		2³

(4⁷ · 2⁷)^² : 8¹² =

Versuche: 0

Negative Exponenten

Aufgabe 26: Potenzen können auch negative Exponenten haben. Setze die Potenzenreihe fort und klick jeweils den Wert an, der in den roten Rahmen kommt.

Potenz

2⁴

2³

2²

2¹

2⁰

Zahl

Verhältnis

2^-4 2^-3 2^-2 2^-1

Versuche: 000

Info: Haben Potenzen eine negative ganze Zahl als Exponent, dann kann man sie auch folgendermaßen schreiben:

2^-2	=	1	=	1	= 0,25
		2²		4

Aufgabe 27: Trage die fehlende Potenz in den Nenner ein.

a)	2^-6 =	1	b)	3^-3 =	1	c)	4^-2 =	1

d)	6^-8 =	1	e)	5^-2 =	1	f)	8^-7 =	1

Versuche: 0

Aufgabe 28: Trage die fehlenden Werte ein.

a)	3^-4 =	1

b)	4^-5 =

c)	1	= 5
	5⁶

d)	1	=
	6²

e)	0,3^-5 =	1

f)	0,5^-6 =

g)	1	= 0,9
	0,9²

h)	1	=
	0,2³

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 29: Ergänze die fehlenden Werte und trage den gekürzten Bruch ein.

a) 12 · 4^-2 = 12 ·	1	= 12 ·	1	=		=
	4				16		4

b)	8 · 2^-4 =	8	=

c)	6 · 3^-2 =	6	=

d)	10 · 4^-1 =	10	=

e)	15 · 5^-2 =	15	=

f)	75 · 10^-2 =	75	=

g)	7 · 21^-1 =	7	=

Versuche: 0

Aufgabe 30: Ergänze die fehlenden Nenner und trage die richtigen Dezimalzahlen ein.

a) 2⁴ · 4^-3 =	16	= 0,25

b) 5^-3 · 10² =	100	=

c) 7^-2 · 7³ =	343	=

d) 8² · 2^-5 =	64	=

e) 4^-3 · 12² =	144	=

e) 5^-3 · 2^-2 =	1	=

Versuche: 0

Aufgabe 31: Trage die fehlenden Werte ein.

a) 4³ · 4^-3 =	b) 5 · 5^-6 · 5¹² =	c) 8³ : 8^-3 =
d) 9³ · = 9^-3	e) 7^-3 : = 7^-6	f) : 2⁸ = 2^-14

richtig: 0 ••••• falsch: 0

Aufgabe 32: Klick an, ob der rote Potenzwert positiv oder negativ ist. Acht Werte sind zuzuordnen.

(-3)^-2

richtig: 0 | falsch: 0

Aufgabe 33: Vervollständige die Merksätze richtig.

Ist die Basis einer Potenz positiv, dann ist der Potenzwert .
Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine gerade Zahl, dann ist der Potenzwert .
Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine ungerade Zahl, dann ist der Potenzwert .

Versuche: 0

Aufgabe 34: Klick die Potenzen in der richtigen Reihenfolge der Größe nach an.

(-4)²

2³

11²

-(5³)

(-7)³

(-3³)

Versuche: 000

Aufgabe 35: Klick die Potenzen in der richtigen Reihenfolge der Größe nach an.

(-3)²

(-5)¹

-(2)⁵

(-3)³

(-5)²

(-2)⁴

Versuche: 000

Aufgabe 36: Klick an, ob der Ergebnis des roten Terms positiv oder negativ ist, wenn x eine natürlichen Zahl (1, 2, 3 ...) ist. Zehn Werte sind zuzuordnen.

(-x)⁴ · (-x)⁵

richtig: 0 | falsch: 0

Rechnen mit Potenzen

Basis und Exponent gleichAddition - Subtraktion

Basis gleichMultiplikation - Division

Exponent gleichMultiplikation - Division

Potenz der Potenz

Gemischte Aufgaben

Negative Exponenten

Basis und Exponent gleich
Addition - Subtraktion

Basis gleich
Multiplikation - Division

Exponent gleich
Multiplikation - Division