Wurzel

Wo kommt die 9 her? Oder die 16? Oder die 25? Aus welchen grundlegenden Zahlen können sich diese Werte entwickelt haben? Wo liegt ihr Ursprung? Wo haben sie ihre Wurzel? So ähnliche Fragen haben sich Mathematiker vor hunderten von Jahren gestellt, als Zahlen noch mystische Bedeutung hatten. Eine Antwort war, dass große Zahlen aus kleineren Zahlen abstammen, die mit sich selbst malgenommen werden. Die Wurzel (der Ursprung) der 9 liegt demnach in der 3 (3 · 3 = 9), die Wurzel der 16 in der 4 (4 · 4 = 16) und die Wurzel der 25 in der 5 (5 · 5 = 25).

Das deutsche Wort Wurzel kommt vom lateinischen Wort radix. Der Kleinbuchstabe r wurde daher anfänglich auch als Wurzelzeichen verwendet. Später wurde das r über den ganzen Term verlängert und es entstand das heutige Wurzelzeichen √.

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Aufgabe 1: Trage die richtigen Begriffe ein.

Merke dir bitte:

Das Wurzelziehen ist die Umkehrung zum (zotenPieren).
Man fragt: "Welche Zahl, die mit sich selbst (plizultimiert) wird, ergibt den Wert unter dem Wurzelzeichen?"
Der Wert unter dem Wurzelzeichen heißt (kadiRand).
Quadratwurzeln haben (itposive) und (gatneive) Ergebnisse.
Quadratwurzeln können nicht aus negativen (kadiRanden) gebildet werden.

Versuche: 0

Aufgabe 2: Trage unten die richtige Wurzel ein.

a) √ =

b) √ =

c) √ =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 3: Trage unten die richtigen Zahlen ein.

Beispiel: 2² = 4, also ist √4 = 2

a) ² = , also ist √ =

b) ² = , also ist √ =

c) ² = , also ist √ =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 4: Trage unten die richtigen Zahlen ein.

Beispiel: √4 = 2; denn 2² = 4

a) √ = ; denn ² =

b) √ = ; denn ² =

c) √ = ; denn ² =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 5: Trage unten die richtigen Zahlen ein.

Beispiel: √4 = 2; denn 2² = 4

a) √ = ; denn ² =

b) √ = ; denn ² =

c) √ = ; denn ² =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 6: Trage unten die Zahlen ein, die als Wurzel die Werte 1, 2, 3 ... haben.

a
√a	1	2	3	4	5	6

a
√a	7	8	9	10	11	12

Versuche: 0

Aufgabe 7: Ein Quadrat hat die Seitenlänge a und den Flächeninhalt a². Trage die fehlenden Größen ein.

a	m		m		m		m
a²	m²		m²		m²		m²

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 8: Das kleine grüne Quadrat hat einen Flächeninhalt von 25 cm². Wie groß ist der Umfang des Rechtecks?

Das Rechteck hat einen Umfang von cm.

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 9: Trage die fehlenden Ziffern ein.

a) 4 = 8	b) 14 = 12
c) 11 = 11	d) 16 = 14

Versuche: 0

Aufgabe 10: Trage die fehlenden Ziffern ein. Die rötlich markierten Kästen haben die gleichen Ziffern.

a) 19 = 13	b) 26 = 6
c) 2 = 2	d) 59 = 2

Versuche: 0

Aufgabe 11: Berechne die Quadratwurzel. Runde auf ...

a) zwei Stellen
nach dem Komma.

√ =

b) drei Stellen
nach dem Komma.

√ =

richtig: 0falsch: 0

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Aufgabe 12: Klick auf den "Neu"-Button. Trage ein, zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen die Quadratwurzel liegt.

		√
9	<		<	16
3²	<		<	4²
3	<	√	<	4

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 13: Trage als Lösung die richtigen Brüche ein.

a)	9	=		b)	25	=		c)	1	=
	144				225				289

Versuche: 000

Aufgabe 14: Trage die Quadratwurzel ein.

		=

richtig: 0 | falsch: 0

Aufgabe 15: Trage die Lösung ein.

0,04

0,36

0,64

1,44

2,25

0,09

0,0001

0,0121

0,0025

Versuche: 0

Aufgabe 16: Trage die Seitenlängen der Quadrate ein. Runde auf zwei Nachkommastellen.

a)		b)		c)

a) = m; b) = m; c) = m

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 17: Trage den Radius des jeweiligen Kreises ein. Runde auf ganze Dezimeter.

a)		b)

a) = dm; b) = dm

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 18: Die Oberfläche eines Spielwürfels beträgt 77,76 cm². Wie lang ist die Seite a des gekennzeichneten Spielsegmentes?

Das Segment ist cm lang.

Versuche: 0

Aufgabe 19: Wenn du auf den "Auto"-Button klickst, erscheinen nacheinander 4 Aufgaben (a, b, c, d), die über die Pfeile einzeln aufgerufen werden können. Berechne für jede Aufgabe den Flächeninhalt des roten (A) und blauen (B) Quadrates.

AUTO

Lösungen:

a)  A_A = cm²  |  A_B = cm²

b)  A_A = cm²  |  A_B = cm²

c)  A_A = cm²  |  A_B = cm²

d)  A_A = cm²  |  A_B = cm²

Versuche: 0

Aufgabe 20: Ein Rechteck ist 18 cm lang und 8 cm breit. Welche Seitenlänge hat ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt?

Das Quadrat hat eine Seitenlänge von cm.

Versuche: 0

Aufgabe 21: Ein Quadrat und ein Kreis haben den gleichen Flächeninhalt. Der Kreis hat einen Radius von 6,8 m. Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrats? Rechne mit π = 3,14. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Das Quadrat hat eine Seitenlänge von m.

Versuche: 0

Aufgabe 22: Trage die Ergebnisse der Rechnungen ein.

a) √9 + √25 =	b) √2,25 + 16 =
c) √¼ + 2,2 =	d) √16 + 3200 =

Versuche: 0

Aufgabe 23: Trage die Ergebnisse ein. Rechne ohne Taschenrechner.

a) √9 + √16 + √4 =

b) √49 + √36 + √81 =

c) √400 - √121 - √25 =

Versuche: 0

Aufgabe 24: Trage die Ergebnisse ein. Rechne ohne Taschenrechner.

a) √0,01 + √0,04 + √0,09 =

b) √1,21 + √0,01 + √0,64 =

Versuche: 0

Kubikwurzel

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Es ist nicht nur möglich, eine Zahl aus der zweiten Potenz herzuleiten - z.B die 9 aus 3 · 3 oder 3². Man kann den Ursprung (die Wurzel) einer größeren Zahl auch aus der dritten Potenz herleiten. Die 27 kann gesehen werden als Ergebnis von 3³ oder 3 · 3 · 3. Wird hier nach dem Ursprung der größeren Zahl gefragt, dann spricht man von der Kubikwurzel. Die Kubikwurzel von 27 ist 3. Mathematisch wird das folgendermaßen geschrieben: 27 = 3

Aufgabe 25: Fülle die Lücken mit den richtigen Werten.

a) 3³ = 27, also ist

b) 5³ = , also ist

c) 10³ = , also ist

d) 4³ = , also ist

e) 7³ = , also ist

f) 8³ = , also ist

Versuche: 0

Aufgabe 26: Berechne die Kantenlänge der Würfel mit folgendem Volumen.

	Volumen	Kantenlänge
a)	cm³	cm
b)	cm³	cm
c)	cm³	cm

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 27: In einen Würfel passt genau 1 Liter hinein. Welche Kantenlänge hat er?

Der Würfel hat eine Kantenlänge von cm.

Versuche: 0

Aufgabe 28: Berechne den Oberflächeninhalt der Würfel mit folgendem Volumen.

	Volumen	Oberfläche
a)	cm³	cm²
b)	cm³	cm²

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 29: Ein Quader ist 12 cm lang, 6 cm hoch und 3 cm breit. Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit dem gleichen Volumen?

Der Würfel hat eine Kantenlänge von cm.

Versuche: 0

Aufgabe 30: Bei mittlerem Sommerabfluss stürzen im Rheinfall etwa 700 Kubikmeter Wasser je Sekunde die Felsen hinunter. Welche Seitenlänge müsste ein würfelförmiges Aquarium haben, um die Wassermenge eines Tages aufnehmen zu können. Runde auf ganze Meter.

Das würfelförmige Aquarium müsste mindestens eine Seitenlänge von m haben.

Versuche: 0

Rheinfall

Rheinfall - Schloss Wörth
von: Roland zh
Lizenz: (CC BY-SA 3.0)
Original: Hier

n-te Wurzeln

2² = 2 · 2 = 4 → = 2
2³ = 2 · 2 · 2 = 8 → = 2
2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 → = 2
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 → = 2
¦
2ⁿ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ... = 2ⁿ → = 2

Bei Quadratwurzeln wird der Wurzelexponent nicht geschrieben.

Ergibt die n-te Potenz der Zahl a den Wert x, dann ergibt die n-te Wurzel des Wertes x die Zahl a.

Allgemein geschrieben: = a, denn aⁿ = x.

Aufgabe 31: Bestimme die Lösung ohne Taschenrechner.

a) =	b) =	c) =
d) =	e) =	f) =
g) =	h) =	i) =

Versuche: 0

Aufgabe 32: Rechne mit dem Taschenrechner. Runde die Lösung auf zwei Nachkommastellen.

a)		√	=

b)		√	=

c)		√	=

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 33: Trage die fehlenden Werte in die Tabelle ein. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

	a)	b)	c)	d)	e)
x	81	625
			36
				16
					4

Versuche: 0

Info: Wurzelterme lassen sich auch als Potenzen schreiben. Der Exponent ist dann ein Bruch. Der Nenner des Bruchs hat den gleichen Wert wie der Wurzelexponent.

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Aufgabe 34: Trage die richtigen Werte ein.

				1
a)	2	√	4 = 4

				1
b)	3	√	225 =

			1
c)	√	= 4	7

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 35: Trage die richtigen Werte ein.

		1
a)	4		=	√

		1
b)	4		=	√

		1
c)	4		=	√

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 36: Trage die richtigen Wurzelexponenten(n) und Radikanden(x) ein.

	1
a) 6	2	=

n =

	1
b) 25	5	=

n =

x =

	1
c) 3	3	=

n =

	1
d) 2,4	7	=

n =

x =

	1
e) 12	11	=

n =

	1
f) 7,8	9	=

n =

x =

Versuche: 0

Aufgabe 37: Ordne die Terme mit demselben Wert einander zu.