Quadratische Funktion

Quadratische Funktionen sind Funktionen in denen eine quadrierte Variable (x²) vorkommt. Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = x². Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie verläuft symmetrisch zur y-Achse und ist nach oben hin geöffnet. Den tiefsten Punkt der Parabel nennt man Scheitelpunkt. Die Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(0|0).


Normalparabel (y = x²)

Die Daten sind gerundet.

Aufgabe 1: Bewege den orangen Gleiter der Parabel auf die aufgeführten x-Punkte der Parabel. Trage die entsprechenden y-Werte in die Tabelle ein.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x²

Versuche: 0


Aufgabe 2: Trage die richtigen y-Werte in die Tabelle ein.

x -6 -5 -4 ··· 4 5 6
y = x² ···

Versuche: 0


Aufgabe 3: Berechne die fehlenden Koordinaten der Normalparabel und trage sie ein.

A(  |  );   B(  |  );   C(   |   );   D(   |   )


richtig: 0falsch: 0


Parabelform y = ax²
Veränderte Parabelöffnung

Aufgabe 4: Ziehe den Regler der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die richtigen Begriffe an.

Multiplizert man x² mit einem Faktor (a), dann verändert sich die Öffnung der Parabel.

  • Ist a positiv, dann zeigt die Öffnung nach .
  • Ist a negativ, dann zeigt die Öffnung nach .
  • Ist der Abstand zum Nullpunkt (Betrag) von a größer als 1, dann ist die Parabel als die Normalparabel.
  • Ist der Betrag von a kleiner als 1, dann ist die Parabel als die Normalparabel.

Versuche: 0


Aufgabe 5: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den dazugehörigen Aussagen passen.

a) Die Parabelöffnung zeigt nach oben: y = x².

b) Die Parabelöffnung zeigt nach unten: y = x².

c) Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel: y = x².

d) Die Parabel ist breiter als die Normalparabel: y = x².


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 6: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den dazugehörigen Aussagen passen.

a) Parabelöffnung oben und schmaler als die Normalparabel: y = x².

b) Parabelöffnung oben und breiter als die Normalparabel: y = x².

c) Parabelöffnung unten und schmaler als die Normalparabel: y = x².

d) Parabelöffnung unten und breiter als die Normalparabel: y = x².


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 7: Klick die richtigen Funktionsgleichungen an.

a) 

x -2 -1 0 1 2
y 2 0,5 0 0,5 2

b) 

x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 0 -1 -4

c) 

x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4

d) 

x -2 -1 0 1 2
y -2 -0,5 0 -0,5 -2


Versuche: 0


Aufgabe 8: Ordne den Funktionsgleichungen die richtigen Parabeln zu.

Quadratische Funktionen

Bestimmung einer Funktionsgleichung

Mit den Koordinaten eines Punktes, der auf einer Parabel der Form y = ax2 liegt, lässt sich der Faktor a berechnen. Dafür werden die Koordinaten in die Formel eingesetzt, die dann nach a hin aufgelöst wird.

Beispiel:

P(3,18) liegt auf der Parabel 

y = ax2
• Koordinaten einsetzen 18 = a · 32
• Nach a hin auflösen
a =  18
32
a = 2
• Funktionsgleichung: y = 2x2

Aufgabe 9: Die Parabel einer quadratischen Funktion der Form y = ax2 führt durch den Punkt P(  ). Trage den Faktor der Funktion unten ein.

Funktionsgleichung: y = x 2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 10: Eine 6 Meter hohe Brücke hat einen parabelförmigen Bogen. Ihre Spannweite beträgt 40 Meter. Trage den Faktor a in die Funktion ein.

Antwort: Die zum Bogen gehörende Funktionsgleichung lautet: y = x².

Versuche: 0


Parabelform y = ax² + c
Vertikale Parabelverschiebung

Aufgabe 11: Ziehe den Regler c der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die richtigen Begriffe an.

Eine Parabel der Form ax² + c ist in vertikaler Richtung verschoben.

  • Ist c positiv, dann verschiebt sich die Parabel nach .
  • Ist c negativ, dann verschiebt sich die Parabel nach .
  • Der Scheitel ist S( |).

Versuche: 0


Aufgabe 12: Ziehe die Begriffe an die richtige Stelle.

Verglichen mit der Normalparabel
ist die Öffnung
dieser Parabel ...
(breiter | schmaler)
befindet sich diese
Parabel weiter ...
(oben | unten)
a) y = -½x² + 2,5
b) y = 4x² - 1,5
c) y = -½x² - 3
d) y = -3x²+ 1,5
e) y = -3x² - 2
f) y = ¾x² + 3
g) y = 4x² + 2
h) y = ¾x² - 2,5

Versuche: 0


Aufgabe 13: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den Parabeln passen.

Quadratische Funktionen

a) y = b) y =
c) y = d) y =

Versuche: 0


Aufgabe 14: Berechne y und trage es ein.

a) Formel
x = 0
y =
b) Formel
x = 0
y =
c) Formel
x = 0
y =
 
d) Formel
x = 0
y =
e) Formel
x = 0
y =
f) Formel
x = 0
y =


richtig: 0falsch: 0


Nullstellen der Funktion y = ax² + c
Parabelschnittpunkte mit der x-Achse

Die Nullstellen der Funktion befinden sich dort, wo die Parabel die x-Achse schneidet. An diesen Stellen ist der y-Wert Null.

Aufgabe 15: Bewege die beiden Gleiter der Grafik und beobachte, in welchem Verhältnis a und c sich zueinander befinden müssen, damit die Parabel die Nullstelle (y = 0) schneidet. Ordne anschließend die folgenden Aussagen richtig zu.



Aufgabe 16: Stelle in der Grafik der vorherigen Aufgabe die folgenden Funktionen ein. Lies die entsprechenden Nullstellen ab und trage die Werte ohne Vorzeichen ein.

a)  y = x² - 1
y = 0
x1 = ; x2 = -
b)  y = 0,4x² - 3,6
y = 0
x1 = ; x2 = -
c)  y = ½x² - 2
y = 0
x1 = ; x2 = -
 
d)  y = -3x² + 3
y = 0
x1 = ; x2 = -
e)  y = 4x² - 1
y = 0
x1 = ; x2 = -
f)  y = -0,1x² + 2,5
y = 0
x1 = ; x2 = -

Versuche: 0


Aufgabe 17: Ordne zu, ob die Parabeln unten keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

Parabeln von quadratischen Funktionen

a) b)

Parabelform y = a(x + b)² + c
Vertikale und horizontale Parabelverschiebung

Aufgabe 18: Ziehe den Regler b der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die fehlenden Begriffe an.

Bei einer Parabel der Form a(x+b)² + c beeinflusst b die horizontale Ausrichtung des Graphen.

  • Je größer b wird, desto mehr verschiebt sich die Parabel nach .
  • Je kleiner b wird, desto mehr verschiebt sich die Parabel nach .
  • Ihr Scheitel ist S(|).

Versuche: 0


Aufgabe 19: Trage den Scheitelpunkt der Parabeln ein.

a) y = Sa(|)
b) y = Sb(|)
c) y = Sc(|)
d) y = Sd(|)


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 20: Vervollständige die Funktionsgleichungen der verschobenen Normalparabeln.

a) y = (x Sa()
b) y = (x Sb()
c) y = (x Sc()
d) y = (x Sd()


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 21: Ordne den Funktionsgleichungen die richtigen Parabeln zu.

Quadratische Funktionen

Aufgabe 22: Die abgebildete Parabel wird gespiegelt. Trage die Funktionsgleichungen der gespiegelten Parabeln ein.

Funktion:

a)  Spiegelung an der x-Achse:
Funktion: y = (x)2

b)  Spiegelung an der y-Achse:
Funktion: y = (x)2

c)  Spiegelung an x- und y-Achse:
Funktion: y = (x)2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 23: Wandle den Term in die Scheitelpunktform um und gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

y = x2 - 6x + 10

y = x2 - 2 · x + 10

y = x2 - 2 · x + +

y = (x - )2 +

S(|)


richtig: 0falsch: 0


Anschauungssparabel